Uma das questões centrais no Teorema de Gödel, que Roger Penrose utiliza em seu livro O Mente do Imperador como exemplo do paradoxo da existência de verdades matemáticas que não podem ser provadas dentro de um sistema formal, é a “indecidibilidade” da consistência dos axiomas. Penrose usa esse conceito para sustentar parte de seu argumento contra a equivalência entre cérebro e computador e a possibilidade de tomada de consciência por inteligências artificiais.
A indecidibilidade da consistência dos axiomas decorre diretamente do segundo teorema de Gödel, mais conhecido como teorema da incompletude. Esse teorema afirma que nenhum sistema formal consistente pode provar sua própria consistência.
Para provar a consistência de um sistema, é necessário um nível de metateoria — um sistema que está fora do sistema formal em questão e que pode usar axiomas e regras adicionais para estabelecer a consistência. Contudo, é possível empilhar metateorias indefinidamente sem alcançar o objetivo real da consistência teórica prometida.
A “indecidibilidade” dos axiomas gira em torno da possibilidade binária de respostas: sim e não, verdadeiro ou falso, 0 e 1, ligado ou desligado, e assim por diante. Esta incapacidade dos computadores de decidirem por si mesmos essas respostas é fundamental.
Um computador pode calcular que 1 + 1 = 2, mas não consegue determinar se essa resposta é verdadeira no sentido lógico ou matemático mais profundo.
Em um processo computacional, ideal ou mecânico, ou qualquer sistema matemático formal, deve sempre existir um algoritmo destinado a verificar provas ou contraprovas de uma determinada informação. Esses algoritmos são “instalados” — ou seja, são instruções acessórias implementadas fora do sistema.
Portanto, o processo computacional, assim como um sistema matemático formal, não pode isolar a definição dos resultados de “verdadeiro ou falso” para um determinado axioma. Isso torna o computador essencialmente “indeciso” em relação à validade absoluta dessas respostas.
