Roger Penrose, em seu livro “The Emperor’s New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics”, ressalta três escolas de filosofia matemática: o formalismo, o platonismo e o intuicionismo. Vamos explorar cada uma delas abaixo:
Formalismo
O formalismo, como defendido por David Hilbert, é uma abordagem da matemática que considera a disciplina como um mero sistema de símbolos e regras de manipulação. Segundo os formalistas, a matemática verdadeira deve abstrair alguns conceitos filosóficos e não mais estar atrelada a ideias de “objetos” ou “verdades abstratas”. A matemática pura deve ser apenas definida como “manipulação de símbolos de acordo com regras específicas”. Ou seja, ela é reduzida a uma espécie de jogo no qual a consistência interna do sistema é crucial.
Platonismo
O platonismo sustenta que os objetos matemáticos existem independentemente da mente humana. Objetos matemáticos como “números”, “círculos” e “conjuntos” são entidades de um “mundo independente”. Do ponto de vista platônico, argumenta-se que a verdade matemática no “mundo real” é uma correspondência imperfeita desse “mundo absoluto”. Quando se pergunta a um matemático platônico se a matemática foi descoberta ou inventada, ele prontamente responderá que foi descoberta. Tanto Gödel quanto Roger Penrose são matemáticos platônicos. Assumir que a verdade matemática real é o espelhamento de uma verdade matemática ideal retira da matemática a contingência formalista do “jogo” e atribui que suas verdades são uma projeção de “verdades eternas e imutáveis”, que independem das manipulações de regras específicas. O interessante paradoxo é que existe o “ideal de matemática perfeita” nos matemáticos platônicos ao mesmo tempo que os mesmos não exigem da “matemática real” a mesma consistência perfeita – pois consideram-na impossível. Foi Gödel, por exemplo, que em seu teorema provou que algumas verdades matemáticas não podem ser matematicamente provadas. Ele é platônico no sentido de assumir a imperfeição da “matemática real” como um reflexo distorcido da perfeição da “matemática ideal”. Não é à toa que o platonismo matemático também seja chamado de realismo matemático.
Intuicionismo
O intuicionismo, liderado por matemáticos como L.E.J. Brouwer, propõe que a matemática é uma criação da mente humana. Se perguntarem a um intuicionista se a matemática foi descoberta ou inventada, ele prontamente dirá que foi inventada. Para os intuicionistas, a verdade matemática é determinada pela capacidade de se construir uma prova – ou seja, ela tem uma existência contingente a uma determinada intenção. Eu diria que é uma espécie de formalismo fragmentado. Os intuicionistas enfatizam a construção mental de conceitos matemáticos e rejeitam a existência de objetos matemáticos independentes da mente. O intuicionismo também rejeita alguns princípios clássicos da lógica, como o princípio do terceiro excluído (ou seja, a afirmação de que qualquer proposição é verdadeira ou falsa).
Comparações e Reflexões
Penrose apresenta essas três escolas de pensamento para destacar como diferentes filosofias abordam a natureza da matemática e a origem de suas verdades. Cada uma dessas escolas tem suas próprias vantagens e limitações:
- Formalismo é útil para garantir a consistência e rigor dentro de sistemas matemáticos, mas pode ser visto como limitado por não capturar a profundidade intuitiva da matemática.
- Platonismo fornece uma visão de que a matemática é uma descoberta de verdades eternas, mas enfrenta o desafio de explicar como esses objetos abstratos independentes podem ser acessíveis à mente humana.
- Intuicionismo enfatiza a importância da construção mental e das provas, mas pode ser visto como restritivo ao rejeitar algumas verdades matemáticas que não podem ser diretamente construídas ou provadas.
Penrose, com suas inclinações platônicas, defende a ideia de que a matemática existe independentemente de nós e que nossas descobertas são um reflexo de uma realidade matemática subjacente.
As reflexões de Penrose sobre formalismo, platonismo e intuicionismo oferecem uma visão rica e complexa da filosofia da matemática. Elas mostram como a matemática pode ser entendida de diferentes maneiras, dependendo da perspectiva filosófica adotada. Ao explorar essas diferentes abordagens, Penrose nos convida a considerar a profundidade e a beleza da matemática, e a refletir sobre como entendemos e interagimos com esse fascinante campo do conhecimento humano.
